可換環論入門 [単行本]

可換環論入門 [単行本] の 商品概要

• 要旨（「BOOK」データベースより）

  本書の目標は代数学と幾何学の間に橋を架けることである。加群の生成元、昇鎖律といった標準的な代数学の解説に加えて、空間の関数環を用いて可換環の幾何学的側面についても詳しく述べる。最後の章では、この本の内容と、可換環論や代数幾何学に出てくる、より高度な話題を取り上げた。秋月や永田による有名な“奇妙な”例をいくつか紹介し、現代抽象代数の歴史についてもコメントする。

• 目次

  はじめに
  訳者註
  
  0 こんにちは！
  0.1 私たちの行き先
  0.2 いくつかの定義
  0.3 分解に関する基本
  0.4 最初の橋渡し
  0.5 幾何学的側面――超曲面の場合
  0.6 Z対k[X]
  0.7 例
  0.8 可換環の研究
  0.9 この本の内容
  0.10 こんな人に
  0.11 必要な知識
  演習問題
  
  1 基礎
  1.1 約束
  1.2 イデアル
  1.3 素イデアルと極大イデアル，Spec Aの定義
  1.4 簡単な例
  1.5 例：Spec k[X,Y]とSpec Z[X]
  1.6 幾何学的解釈
  1.7 Zornの補題
  1.8 極大イデアルの存在
  1.9 たくさんの素イデアル
  1.10 べき零とべき零根基
  1.11 零因子について
  1.12 イデアルの根基
  1.13 局所環
  1.14 局所環の例
  1.15 べき級数環と局所環
  演習問題
  
  2 加群
  2.1 加群の定義
  2.2 簡単な形式化
  2.3 準同型定理と同型定理
  2.4 加群の生成元
  2.5 例
  2.6 Cayley-Hamiltonの定理
  2.7 行列式のトリック
  2.8 系――中山の補題
  2.9 完全列
  2.10 完全列の分裂
  演習問題
  
  3 Noether環
  3.1 昇鎖律
  3.2 Noether環
  3.3 例
  3.4 Noether加群
  3.5 Noether加群の性質
  3.6 Hilbertの基底定理
  演習問題
  
  4 環の有限次拡大とNoetherの正規化
  4.1 有限A-代数，整A-代数
  4.2 有限 対 整
  4.3 塔法則
  4.4 整閉包
  4.5 非特異性と正規環(入門)
  4.6 Noetherの正規化
  4.7 主張の証明
  4.8 Noetherの正規化の別証明
  4.9 体の拡大
  4.10 弱零点定理
  演習問題
  
  5 零点定理とSpec Aの幾何学
  5.1 弱零点定理
  5.2 k[X1,…,Xn]の極大イデアルとknの点
  5.3 多様体の定義
  5.4 代数的閉体でない場合
  5.5 VとIの対応
  5.6 零点定理
  5.7 既約多様体
  5.8 零点定理とSpec A
  5.9 多様体上のZariski位相
  5.10 多様体上のZariski位相はNoether性をもつ
  5.11 既約分解
  5.12 一般のSpec A上のZariski位相
  5.13 Noether環のSpec A
  5.14 多様体とSpec A
  演習問題
  
  6 商環S^{-1}Aと局所化
  6.1 S^{-1}Aの構成
  6.2 簡単な性質
  6.3 AとS^{-1}Aのイデアル
  6.4 局所化
  6.5 商加群
  6.6 S^{-1}の完全性
  6.7 局所化と商の可換性
  6.8 さらなる局所化
  演習問題
  
  7 準素分解
  7.1 加群の台Supp M
  7.2 考察
  7.3 Ass Mの定義
  7.4 Ass Mの性質
  7.5 SuppとAssの関係
  7.6 加群の分解
  7.7 準素イデアルの定義
  7.8 準素イデアルとAss
  7.9 準素分解
  7.10 準素分解についての考察
  7.11 準素分解の存在
  7.12 準素分解とAss(A/I)
  7.13 準素イデアルと局所化
  演習問題
  
  8 DVRと正規整域
  8.1 序
  8.2 DVRの定義
  8.3 最初の特徴付け
  8.4 DVRに関する主定理
  8.5 一般の付値環
  8.6 一般の付値環の例
  8.7 正規性は局所的条件
  8.8 正規環は余次元1でDVR
  8.9 幾何学的考察
  8.10 DVRの共通部分
  8.11 正規化の有限性
  8.12 定理8.11の証明
  8.13 付録：トレースと分離性
  演習問題
  
  9 さようなら！
  9.1 私たちの来た道
  9.2 これからの道
  9.3 補足
  9.4 Noether性では足りない
  9.5 秋月の例
  9.6 スキーム理論
  9.7 抽象代数と応用代数
  9.8 歴史をちょっと
  9.9 代数学を教えるときの問題点
  9.10 この本の書かれた背景
  演習問題
  
  参考文献
  訳者あとがき
  欧文索引
  和文索引

• 出版社からのコメント

  著者の個性が強く表れたユニークな入門書

可換環論入門 [単行本] の商品スペック