微分積分学の誕生―デカルト『幾何学』からオイラー『無限解析序説』まで [単行本]

微分積分学の誕生―デカルト『幾何学』からオイラー『無限解析序説』まで の 商品概要

• 要旨（「BOOK」データベースより）

  デカルトからフェルマ、ライプニッツ、ベルヌーイ兄弟、そして、オイラーまで。微分積分学が生まれ育つまでの数学者たちの思索の森へ読者を誘い、新しい数学が創られていく過程を鮮やかに描き出す、著者入魂の一冊。

• 目次

  はじめに
  
  第0章 学び始めのころ――《あこがれ》と《とまどい》
  ◆『微分積分学の誕生』略年譜
  『解析概論』を振り返って
  関数の微分可能性の定義をめぐって／接線の方程式／微分商と微分係数／
  微分と無限小量／関数と接線
  曲線の理論と微分積分学
  関数概念がまだなかった時代の微積分の姿／曲線に接線を引くこと／
  極大極小問題／「万能の接線法」／フェルマの極大極小問題の例／
  放物線の求積法／逆接線法と求積線
  
  第1章 デカルトの幾何学的曲線論
  ◆ルネ・デカルト年表
  作図問題と方程式
  デカルトの『幾何学』と注意事項／代数的演算とは／
  代数的演算に対応する幾何学の操作／作図問題を代数の計算に還元すること／
  表記法をめぐって／代数の演算に自由性を与える／等式と方程式／
  平面的な問題／3線・4線の軌跡問題／2線の軌跡問題と「アポロニウスの円」／
  デカルトの幾何学的曲線論の出発点／作図問題と代数に見る具象と抽象／
  n線の軌跡問題／パップスの問題／16世紀イタリアの代数学／
  正多角形の作図とガウスの円周等分方程式論
  曲線のいろいろ
  アルキメデスの螺旋とヒッピアスの円積線／
  古代ギリシアの三大作図問題（1） 円の方形化問題／
  古代ギリシアの三大作図問題（2） 角の3等分問題／
  古代ギリシアの三大作図問題（3） 立方体の倍積問題／
  ニコメデスのコンコイド／ディオクレスのシソイド／
  古代ギリシアの曲線の世界／機械的な曲線とは何か／
  幾何学的曲線とは何か（その1）／幾何学的曲線とは何か（その2）／
  幾何学的曲線と代数方程式
  
  第2章 フェルマの接線法と極値問題
  ◆ピエール・ド・フェルマ年表
  曲線を表す方程式
  法線と接線／幾何学的曲線とは何か（その3）／真根と偽根／
  デカルトの代数方程式論／デカルトの曲線論の回想／曲線を表す方程式
  デカルトの法線法とフェルマの接線法
  楕円の法線──デカルトの方法／フェルマの接線法／
  楕円の接線──フェルマの方法／アポロニウスの接線法／ライプニッツの方法／
  フェルマの極大極小問題／極大極小問題と接線法／
  デカルトの法線法とフェルマの接線法
  
  第3章 ライプニッツの無限解析
  ◆ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ年表
  クザーヌスの言葉
  ライプニッツの「万能の接線法」／ニコラウス・クザーヌス／
  不思議な言葉の数々／サイクロイドをめぐって／曲線の接線とクザーヌス
  微分計算の規則
  フェルマとライプニッツ／ヤコブ・ベルヌーイとヨハン・ベルヌーイ／
  往復書簡／マルキ・ド・ロピタル（ロピタル公爵）／縦線と向軸線／
  「差」と「微分」／微分の計算規則（その1）──定量の微分／
  微分の計算規則（その2）──和と差と積の微分／微分計算の公理系／
  微分計算のアルゴリズム／高校数学の微分公式／
  代数的ではない曲線に対する「万能の接線法」
  曲線の形
  無限小の代数学／接線の変化と曲線の形状／2階微分と曲線の変曲／
  ライプニッツの計算例（1） スネルの法則／
  ライプニッツの計算例（2） 接線と軸の交点の決定／関数と曲線／接線法再考
  逆接線法と超越曲線
  「ライプニッツ1686」／「超越的な曲線」の由来／ドゥボーヌの問題／
  逆接線法と積分計算／逆接線法と求積法／超越曲線への関心／
  デカルトの求積法／非代数的な表示式について／求積法と求積線／
  「積分されるべき微分」／オイラーの関数概念／
  「曲線の世界」から「変化量とその微分の世界」へ
  
  第4章 オイラーの解析幾何
  ◆レオンハルト・オイラー年表
  オイラーの曲線論
  『無限解析序説』／オイラーの語る「定量」と「変化量」／
  代数関数と超越関数／代数方程式と代数関数／超越関数の世界／
  関数と曲線／曲線の解析的源泉／超越曲線のいろいろ
  逆接線法から微分方程式へ
  レムニスケートに由来する微分方程式／最短降下線と最速降下線／
  サイクロイド／オイラーの力学／関数概念の導入／オイラーの第2の関数／
  代数関数と代数曲線／オイラーの第3の関数／関数と変分法／
  変化するものは何か／オイラー方程式の解について
  
  おわりに
  参考文献
  さくいん
  
  COLUMN
  3線，4線の軌跡問題の具体例と解析幾何学による解法
  代数方程式の代数的解法とは
  ロピタルの定理
  サイクロイドの接線（フェルマの方法）
  アーベルによるレムニスケート の弧長積分の算出

• 著者紹介（「BOOK著者紹介情報」より）（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）

  高瀬 正仁(タカセ マサヒト)
  １９５１年、群馬県勢多郡東村（現在、みどり市）に生まれる。九州大学基幹教育院教授。専門は多変数関数論と近代数学史。２００８年九州大学全学教育優秀授業賞受賞。２００９年度日本数学会費出版賞受賞。歌誌「風日」同人

• 出版社からのコメント

  微積分にひそむ「エニグマ」の正体を探る！

• 内容紹介

  ギリシャ時代からの難問である作図問題を、「曲線を方程式で表す」という着想に基づいて明快に解き明かしたデカルト。
  しかし、なぜ彼は、「曲線の法線を引く」ことに強くこだわったのか。
  
  曲線の接線法と極大極小問題を同じやり方で巧みに解いたフェルマ。
  しかし、なぜ彼は、全く異なる問題が同じ方法で解けると見抜いたのか。
  
  「万能の接線法」を発明し、どんな曲線にも接線を引けると言いきったライプニッツ。
  彼の言う、「無限小の長さを無限につなげた曲線」とはどういうものであったのか。
  
  微分積分学が生まれ育つまでの数学者たちの思索の森へ読者を誘い、
  新しい数学が創られていく過程を鮮やかに描き出す、著者入魂の一冊。

• 著者について

  高瀬 正仁 (タカセ マサヒト)
  1951年、群馬県勢多郡東村(現在、みどり市)に生まれる。九州大学基幹教育院教授。専門は多変数関数論と近代数学史。2008年九州大学全学教育優秀授業賞受賞。2009年度日本数学会賞出版賞受賞。歌誌「風日」同人。著書に『ガウスの数論』『無限解析のはじまり』（ちくま学芸文庫）、『岡潔』『高木貞治』（岩波新書）、『ガウスの《数学日記》』『dxとdyの解析学』（日本評論社）『高木貞治とその時代』（東京大学出版会）『近代数学史の成立』（東京図書）『紀見峠を越えて』（萬書房）ほか多数。また、訳書に『オイラーの無限解析』『オイラーの解析幾何』（海鳴社）、『ガウス整数論』（朝倉書店）ほか。

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