1足す1から現代数論へ―モジュラー形式への誘い [単行本]

1足す1から現代数論へ―モジュラー形式への誘い [単行本] の 商品概要

• 目次

  序　　論　この本はどんな本か
  1.　足すこと
  2.　興味のある和
  
  
  第I部　有　限　和
  
  第1章　導　　入
  1.　最大公約数
  2.　合　同　式
  3.　ウィルソンの定理
  4.　平方剰余と非剰余
  5.　ルジャンドル記号
  
  第2章　二つの平方数の和
  1.　解　　答
  2.　証明はプディングの中にはない
  3.　定理2.1と定理2.3の十分条件である部分の証明
  4.　証明の詳細
  
  第3章　3個と4個の平方数の和
  1.　3個の平方数
  2.　幕　　間
  3.　4個の平方数
  4.　4より大きい個数の平方数の和
  
  第4章　高次のベキの和：ウェアリングの問題
  1.　g(k)とG(k)
  2.　4乗ベキの和
  3.　高次のベキ乗
  
  第5章　単純な和
  1.　最初の段階にもどる
  2.　低いベキ乗の和
  
  第6章　ベキ乗の和，代数を用いて
  1.　歴　　史
  2.　平　　方
  3.　嬉遊曲：二重和
  4.　入れ子式の和
  5.　帰ってきた入れ子
  6.　余談：オイラー・マクローリンの和
  
  
  第II部　無　限　和
  
  第7章　無限級数
  1.　有限幾何級数
  2.　無限幾何級数
  3.　二項級数
  4.　複素数と関数
  5.　無限幾何級数，再び
  6.　無限和の例
  7.　e,　ex，そしてez
  8.　ベキ級数
  9.　解析接続
  
  第8章　記号の特色
  1.　上半平面H
  2.　再び指数関数ez
  3.　q,　Δ*,　そしてΔ0
  
  第9章　ゼータ関数とベルヌーイ数
  1.　神秘的な公式
  2.　無　限　積
  3.　対数微分法
  4.　さらに続く二つの小道
  
  第10章　方法を数える
  1.　母　関　数
  2.　母関数の例
  3.　母関数の最後の例
  
  
  第III部　モジュラー形式とその応用
  
  第11章　上半平面
  1.　復　　習
  2.　帯
  3.　幾何学とは何か？
  4.　非ユークリッド幾何学
  5.　群
  6.　行　列　群
  7.　双曲的非ユークリッド平面の運動群
  
  第12章　モジュラー形式
  1.　術　　語
  2.　SL2(Z)
  3.　基本領域
  4.　ついにモジュラー形式
  5.　変換特性
  6.　増大条件
  7.　要　　約
  
  第13章　モジュラー形式はどのぐらいたくさんあるのか？
  1.　無限集合の数え方
  2.　MkとSkはどのぐらい大きいのか？
  3.　q展開
  4.　モジュラー形式を掛ける
  5.　MkとSkの次元
  
  第14章　合　同　群
  1.　ほかの重み
  2.　整数の重みと高次のレベルをもつモジュラー形式
  3.　基本領域とカスプ
  4.　半整数の重みをもつモジュラー形式
  
  第15章　分割と平方数の和，再訪
  1.　分　　割
  2.　平方数の和
  3.　数値的な例と哲学的考察
  
  第16章　続・モジュラー形式
  1.　ヘッケ作用素
  2.　新しい衣服，古い衣服
  3.　エル関数L
  
  第17章　まだほかにあるモジュラー形式を扱う事柄：応用
  1.　ガロア表現
  2.　楕円曲線
  3.　ムーンシャイン
  4.　より大きな群（佐藤--テイト）
  5.　後　　記
  
  参考文献
  
  記号表，引用文献，訳者あとがき
  1.　記　号　表
  2.　引用文献
  3.　訳者あとがき
  
  索　　引

• 出版社からのコメント

  足し算から始まり，フェルマーの最終定理の証明に利用された現代数論までをカバーした解説書。モジュラー形式の概念も説明する。

• 内容紹介

  　足し算は言うまでもなく，日常生活において数を扱う基礎である。また，数を扱う数論は，現代において幅広く，豊かな広がりをみせている。
  　本書は，足し算という素朴な概念から，現代数論までをカバーする解説書である。
  　まず，有限な範囲での和や「平方の和の問題」の話から始める。この「平方の和の問題」とは，どんな数が二つの平方数の和として表されるか，というものであり，この問題は17世紀にフェルマーが提起し，公開した。彼は数学者メルセンヌへの手紙の中で，証明なしにその問題を解答したことを公表した。この2乗数の和を皮切りに，3乗数の和，4乗数の和，そしてさらに高次のベキ乗和の話へと続いていく。次に有限から無限へと範囲を拡大して，無限級数を用い，ゼータ関数，ベルヌーイ数，母関数などが重要な関数が登場する。最後に，フェルマーの最終定理の証明においても使われるなど，現代数論において欠かせないモジュラー形式の概念を解説し，有限和と無限和の話を結び付ける内容となっている。数学愛好家のような一般向けに，飽きさせない話題を展開しているユニークな書。

• 著者紹介（「BOOK著者紹介情報」より）（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）

  新妻 弘(ニイツマ ヒロシ)
  １９４６年茨城県に生まれる。１９７０年東京理科大学大学院理学研究科修士課程修了。現在、東京理科大学理学部数学科教授を経て、東京理科大学名誉教授・理学博士

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