加群からはじめる代数学入門―線形代数学から抽象代数学へ [単行本]

加群からはじめる代数学入門―線形代数学から抽象代数学へ の 商品概要

• 要旨（「BOOK」データベースより）

  抽象的な代数学への第一歩を、環上の加群を中心に体→環→群の順に導入する流れで学んでいく。問題も豊富で手を動かしながら代数学の考え方が身につく一冊。

• 目次

  第1章　体上の加群（別名：線形空間またはベクトル空間）
  　　　　1.1　実線形空間
  　　　　1.2　体上の線形空間
  　　　　1.3　基底
  　　　　1.4　行列と部分空間の表示
  　　　　1.5　線形写像
  　　　　1.6　商空間
  　　　　1.7　線形空間の短完全系列
  　　　　章末問題
  第2章　一変数多項式環上の加群
  　　　　2.1　環と可換環
  　　　　2.2　一変数多項式環上の加群
  　　　　章末問題
  第3章　環上の加群
  　　　　3.1　環準同型と体準同型
  　　　　3.2　環上の加群と加群準同型
  　　　　3.3　環上の加群の部分加群と商加群
  　　　　3.4　自由加群の基底
  　　　　3.5　加群の可換図式および自由加群の基底変換行列
  　　　　章末問題
  第4章　有理整数環
  　　　　4.1　最大公約数と拡張ユークリッド互除法
  　　　　4.2　整数の素因数分解の存在と一意性
  　　　　4.3　整数成分行列の標準形（Smith 標準形）
  　　　　4.4　中国剰余定理
  　　　　4.5　有理整数環上の自由加群の準同型と部分加群・商加群の計算
  　　　　章末問題
  第5章　一変数多項式環上の加群の計算理論
  　　　　5.1　一変数多項式環のユークリッド互除法
  　　　　5.2　一変数多項式環の中国剰余定理とSmith標準形
  　　　　5.3　一変数多項式環上の自由加群の準同型と部分加群・商加群の計算
  　　　　章末問題
  第6章　加群理論の応用
  　　　　6.1　有限生成加法群の構造定理
  　　　　6.2　有限加法群の部分群の計算法
  　　　　6.3　Jordan標準形
  　　　　6.4　抽象代数学の手法によるJordan標準形の導出
  　　　　6.5　抽象代数学の手法によるCayley-Hamiltonの定理の証明
  　　　　6.6　Sylvester方程式
  　　　　章末問題
  第7章　可換群から非可換群へ
  　　　　7.1　部分群と商群
  　　　　7.2　群作用
  　　　　7.3　群と環の関係
  　　　　章末問題
  
  補充問題（計算ドリル）

• 出版社からのコメント

  抽象的な代数学への第一歩を環上の加群を通して学んでいく。問題も豊富で手を動かしながら代数学の考え方が身につく一冊。

• 内容紹介

  抽象的な代数学への第一歩を、まず体上の線形空間を導入した上で線形空間の概念を環上の加群へ一般化するという、体→環→群の順に導入する流れで学んでいく。具体的な目次立ては以下の通り。
  
  第1章　体上の加群（別名：線形空間または
  ベクトル空間）
  第2章　一変数多項式環上の加群
  第3章　環上の加群
  第4章　有理整数環
  第5章　一変数多項式環上の加群の計算理論
  第6章　加群理論の応用
  第7章　可換群から非可換群へ
  
  第1章では体係数の線形空間を導入し短完全系列を用いて種々の次元公式を導く。第2章では行列の固有値の理論を一変数多項式環上の加群の理論として見直す。第3章では体の公理から除法の公理を削って可換環の公理を、乗法の交換法則を削って環の公理を導入し、次に群の公理を導入して加群と環上の加群を定義する。第4章では高校で学ぶ整数の性質の厳密な取り扱いを説明し、Smith標準形を与える。第5章では一変数多項式環に対し第4章と並行した性質が成り立つことを説明し、有限階自由加群のあいだの準同型の核と余核の計算方法を説明する。第6章では有限生成Abel群の構造定理、Jordan標準形・Cayley-Hamiltonの定理・Sylvester方程式の加群を用いた取り扱いを説明する。また有限Abel群の部分群を求める計算方法を説明する。ここまでは（環の作用をもつ）加法群しか出てこないが、第7章では非可換群の正規部分群による商や群作用を導入する。
  全編に渡り豊富な例が与えられ、つねに計算方法が提示される。また、他書に見られない広い視野から多くの事実が註として付記されており、代数学の数学の諸分野へのつながりがわかるとともに線形代数の見方が一変するであろう。
  章末問題や計算問題も豊富で、手を動かしながら概念を身につけたい人や代数学を学び直したい人への独習書としても最適の一冊。

• 著者紹介（「BOOK著者紹介情報」より）（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）

  有木 進(アリキ ススム)
  １９５９年下関市に生まれる。１９８９年理学博士（東京大学）。東京商船大学（現・東京海洋大学海洋工学部）、京都大学数理解析研究所を経て、大阪大学大学院情報科学研究科教授。専門は、ヘッケ環、量子群、代数群の表現論

• 著者について

  有木 進 (アリキ　ススム)
  大阪大学大学院情報科学研究科教授

加群からはじめる代数学入門―線形代数学から抽象代数学へ の商品スペック