基礎から学ぶ級数論―フーリエ級数入門 [単行本]

基礎から学ぶ級数論―フーリエ級数入門 [単行本] の 商品概要

• 目次

  1.　フーリエ級数の導入―フーリエ級数の身近な応用例―
  1.1　身近な音の話
  　1.1.1　ピアノの音を調べる
  　1.1.2　ピアノの和音の分析
  1.2　複雑な関数や波を簡単な関数で表す
  　1.2.1　べき級数で表す
  　1.2.2　三角関数で表す
  1.3　数列の基礎
  　1.3.1　等差数列
  　1.3.2　等比数列
  　1.3.3　漸化式
  章末問題
  2.　数列の収束性―ε－σ論法への挑戦―
  2.1　数列の収束
  2.2　数列の発散
  2.3　有界と上極限・下極限
  　2.3.1　有界とは
  　2.3.2　上極限と下極限
  　2.3.3　コーシー列とは
  2.4　数列の極限
  　2.4.1　数列の極限の分類
  　2.4.2　数列の極限に関する定理
  2.5　単調数列
  章末問題
  3.　無限級数べき級数を学ぶ，その前に
  3.1　無限級数
  3.2　正項級数
  3.3　正項級数の収束判定法
  　3.3.1　比較判定法
  　3.3.2　コーシーの判定法
  　3.3.3　ダランベールの判定法
  　3.3.4　積分判定法
  3.4　絶対収束と条件収束
  　3.4.1　交項級数（交代級数）
  　3.4.2　絶対収束
  章末問題
  4.　べき級数フーリエ級数を学ぶ前の最後の準備
  4.1　べき級数とは
  　4.1.1　べき級数の収束
  　4.1.2　収束半径
  　4.1.3　収束・発散と収束半径
  4.2　べき級数の収束半径を求める定理
  　4.2.1　コーシー・アダマールの定理
  　4.2.2　ダランベールの定理
  4.3　べき級数の項別微分・項別積分と収束半径との関係
  　4.3.1　べき級数の収束半径に関する定理
  　4.3.2　べき級数の性質と項別微分・項別積分
  4.4　関数のべき級数展開
  　4.4.1　マクローリン級数
  　4.4.2　テイラー級数
  章末問題
  5.　フーリエ級数ついに目標に到着
  5.　0三角関数に関する公式
  　5.0.1　オイラーの公式
  　5.0.2　加法定理と積和変換公式
  5.1　周期関数
  　5.1.1　周期関数の性質
  　5.1.2　周期関数に関するおもな定理
  5.2　偶関数と奇関数
  　5.2.1　偶関数
  　5.2.2　奇関数
  　5.2.3　偶関数と奇関数の性質
  5.3　直交関数系
  　5.3.1　ベクトルの内積と直交
  　5.3.2　関数の内積と直交
  　5.3.3　関数列の直交関数系
  　5.3.4　三角関数の直交関係
  5.4　フーリエ級数
  　5.4.1　フーリエ係数の導出
  　5.4.2　偶関数と奇関数のフーリエ級数
  　5.4.3　任意の2π区間I=[c,c+2π]のフーリエ級数
  　5.4.4　任意の周期：T=2Lへの応用
  5.5　複素フーリエ級数
  　5.5.1　フーリエ係数の複素形式
  　5.5.2　任意の周期：T=2Lの場合
  5.6　フーリエ級数の収束性
  　5.6.1　不連続関数のフーリエ級数
  　5.6.2　ベッセルの不等式
  　5.6.3　チェザロの総和法
  　5.6.4　フーリエ級数の収束性
  　5.6.5　不連続点での収束
  章末問題
  引用・参考文献
  章末問題解答
  索引

• 出版社からのコメント

  高校レベルの基本的な数列から無限級数，べき級数，フーリエ級数の初歩までを丁寧に解説。最低限押さえてほしい基礎的な内容を厳選。

• 内容紹介

  本書では，小学校で学んだ簡単な数列の知識から始まり，なだらかな稜線を辿り「フーリエ級数の計算」という名の双頭の一つ目の山頂を目指します。さらにもっと高みを目指したい読者のために，難解な「フーリエ級数の収束性」という基礎論の二つ目の頂上も用意してあります。読者の方々が小学校，中学そして高校レベルの知識へと段階的に進み，徐々に新しい定理や知識を身に付けていくことができるよう，以下の構成としました。
  
  1章「フーリエ級数の導入―フーリエ級数の身近な応用例―」では，ピアノの音をフーリエ解析することで，フーリエ級数が生活の中でどのように利用できるかの概要を学び，目的を明確にします。一つの応用例を通して，目指す一つ目の山頂の目標を明確にします。「なぜ基本的な波で表すことが可能なのか」という疑問をもつことが大切です。理解できない部分があっても，まったく問題ありません。また，級数の基本となる等比数列と等差数列について学びます。
  2章「数列の収束性―ε-δ論法への挑戦―」では，高校までで学んだ数列の収束や発散について学びます。しかし，この章では，のちの5.6節で学ぶフーリエ級数の収束性の証明に必要となるε-δ論法が出てきます。でも安心してください，双頭の二つ目の山頂を目指さない人は，ななめ読みあるいは読み飛ばしても構いません。ε-δ論法やそれに続く上極限や下極限などは，数学を専門とする人以外は必要ないからです。
  3章「無限級数－べき級数を学ぶ，その前に―」では，べき級数を理解するために必要となる知識として，無限級数の収束の概念，収束するのか発散するのかを調べられるさまざまな判定法などについて学びます。
  4章「べき級数―フーリエ級数を学ぶ最後の準備―」では，べき級数，そしてテイラー展開やマクローリン展開を学びます。ここでは，級数が収束する領域を表す収束半径という概念も学びます。
  5章「フーリエ級数―目標に到着，フーリエ級数―」では，複雑な関数をf(x)を直交関数系と呼ばれる三角関数を用いて表す方法について考えます。まずそのために必要なオイラーの公式と三角関数のおもな公式，周期の概念，直交関数系の概念を学んでから，フーリエ級数の基本について学びます。最後に，具体的な関数をフーリエ級数に展開する方法についても学びます。
  
  本書では，重要あるいは難解そうな定理には，詳細な証明を載せるように心がけました。そして，それらの定理の使い方を学ぶために例題を用意してあります。例題には，わかりやすい解答過程を載せるようにしました。また，各章の章末には章全体の理解確認の問題を用意してあります。各章末問題の解答は，詳細に計算過程を載せるように心がけました。さらに，基本的な計算過程のほかに理解を補う別解法がある場合には，その過程も載せるようにしています。
  なお，本書ではフーリエ級数による身の回りの波の解析としてピアノの音を扱っています。また，例題や問題には，図や動画を用いて説明しています。それぞれQRコードを付してありますので，ぜひ動画を見て理解を深めてください。
  
  図書館選書
  高校レベルの基本的な数列から無限級数，べき級数，フーリエ級数の初歩までを解説。最低限押さえてほしい基礎的な内容を厳選し，数学的ものの考え方の習得と関係する定理の証明・演習問題を通して実践力を養うことを目指す。

• 著者紹介（「BOOK著者紹介情報」より）（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）

  長嶋 祐二(ナガシマ ユウジ)
  １９７８年工学院大学工学部電子工学科卒業。１９８０年工学院大学大学院工学研究科修士課程修了（電気工学専攻）。工学院大学助手。１９８９年工学院大学講師。１９９３年博士（工学）工学院大学。１９９４年工学院大学助教授。２００３年工学院大学教授。２０２１年工学院大学名誉教授
  
  福田 一帆(フクダ カズホ)
  ２００１年千葉大学工学部画像工学科卒業。２００３年東京工業大学大学院総合理工学研究科修士課程修了（物理情報システム専攻）。２００６年東京工業大学大学院総合理工学研究科博士課程修了（物理情報システム専攻）博士（工学）。東京工業大学産学官連携研究員。Ｙｏｒｋ大学（カナダ）博士研究員。２００９年東京工業大学特任助教。２０１０年東京工業大学助教。２０１４年工学院大学准教授

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