和算からベルヌーイ数へと続く数の世界―ベル数・スターリング数でも和算家はスゴかった(知りたい!サイエンス〈154〉) [単行本]

和算からベルヌーイ数へと続く数の世界―ベル数・スターリング数でも和算家はスゴかった(知りたい!サイエンス〈154〉) の 商品概要

• 要旨（「BOOK」データベースより）

  有名な和算家関孝和が、ベルヌーイ数を発見していたことはご存じでしょうか。実は驚くべきことにベル数やスターリング数も和算家によって発見されていました。その日本発の研究は源氏香にその端を発します。和算と西洋数学の両面からアプローチしてベルヌーイ数に関する不思議なクラウゼン・フォンシュタウトの定理にも迫りましょう。

• 目次

  はじめに
  
  1章　源氏香のミステリー
  　日本発の研究とは…
  　「源氏香図」52個に『源氏物語』54帖が…
  　「源氏香」から和算家達が発見した式とは…
  　「二項係数」を並べて「パスカルの三角形」を作ろう
  　「源氏香図」52個を描き上げよう
  　源氏香図のミステリー（1）
  　コラム1 10種香は何通りか（1）
  
  2章　 和算家のスターリング数
  　和算家達のさらなる発見とは…
  　漸化式から「第2種スターリング数の三角形」を作ろう
  　「n＝4の香図」を描き上げよう
  　源氏香図のミステリー（2）
  　漸化式から「第1種スターリング数の三角形」を作ろう
  　「置換」を「プレゼント交換」で見てみよう
  　「置換」を「サイクルの個数」で見てみよう
  　nを増やして「置換」のサイクルを見ていこう
  　コラム2 10種香は何通りか（2）
  
  3章　スターリングのスターリング数
  　「二項係数」の関係式を代数の側面から見てみよう
  　二項係数の「一般項」を場合の数から求めよう
  　「べき乗」を「下降階乗」で表そう
  　「べき乗」を「上昇階乗」で表そう
  　第2種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
  　何を展開すると第2種スターリング数が現れるか
  　第2種スターリング数の「一般項」はどうなるか
  　場合の数の「包除原理」から一般項を求めよう
  　「n!」を「二項係数」で表そう
  　第1種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
  　「第1種スターリング数の多項式」を因数分解しよう
  　「上昇階乗」を「べき乗」で表そう
  　「下降階乗」を「べき乗」で表そう
  　「べき乗」→「下降（上昇）階乗」→「べき乗」
  　コラム3 攪乱順列とモンモール数
  
  4章　ベル数と無限級数
  　無限和を、ベルヌーイ数を用いて表そう
  　無限和を、ベル数を用いて表そう（1）
  　ベル数の「母関数」を求めよう
  　無限和を、ベル数を用いて表そう（2）
  　e^xから始め、xをかけて微分していくと…
  　xをかけ、それを微分した式とたし算すると…
  　無限級数から第2種スターリング数の「一般項」を…
  　第2種スターリング数の「母関数」を求めよう
  　第1種スターリング数の「母関数」を求めよう
  　コラム4 ベルヌーイ数と「べき乗和の公式」
  
  5章　スターリングにとっては同一種
  　「パスカルの三角形」をさかのぼろう（1）
  　「マイナス行」を「二項係数」で表そう
  　「マイナス行」に現れた「重複組合せ」とは…
  　(1-x)^-nの展開に着目しよう（1）
  　「パスカルの三角形」をさかのぼろう（2）
  　(1-x)^-nの展開に着目しよう（2）
  　「第2種スターリング数の三角形」をさかのぼろう
  　「マイナス行」に現れた「第1種スターリング数」
  　「逆数のべき乗」を表そう（1）
  　「逆数のべき乗」を表そう（2）
  　「第1種スターリング数の三角形」をさかのぼろう
  　「マイナス行」に現れた「第2種スターリング数」
  　「逆数のべき乗」を用いて表そう
  　コラム5 スターリング数の性質
  
  6章　不思議な「クラウゼン-フォンシュタウトの定理」
  　「上昇階乗」を用いる「積和の公式」とは…
  　「べき乗和」を「スターリング数」で表そう
  　「ベルヌーイ数」を「第2種スターリング数」で表そう
  　「クラウゼン-フォンシュタウトの定理」を見ていこう
  　「第2種スターリング数」を素数pで割った「余り」
  　偶数番目のベルヌーイ数B2nの「分母」を見てみよう
  　「整数-1/素数-1/素数-…-1/素数」の「整数」を求めよう
  　「ベルヌーイ数」と「スターリング数」が絡んだ式
  索引
  参考文献
  著者プロフィール

• 内容紹介

  関孝和がベルヌーイ数を発見していたことは特に有名ですが、和算家が大きく貢献した有名な数が他にもあります。関孝和の孫弟子にあたる松永良弼（よしすけ）によるベル数や、坂正永（まさのぶ）によるスターリング数などです。和算家たちはこれらの数を「場合の数」と捉えます。一方、スターリングなど西洋の数学者たちは「代数」と捉えていました。スターリング数は、ベルヌーイ数に関する重要なクラウゼン-フォンシュタウトの定理に欠かせない重要な数でもあります。和算と西洋数学によるそれらの数の捉え方の違いを通して、それらがどのようにしてベルヌーイ数へとつながっていくのか、わかりやすく解説します。題材として「源氏香図」を使います。これは単なるデザインではなく、数学的な意味をもつもので、源氏香52通りはベル数とも呼ばれています。
  楽しみながら数学を学ぶことができる1冊です。

• 著者紹介（「BOOK著者紹介情報」より）（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）

  小林 吹代(コバヤシ フキヨ)
  １９５４年福井県生まれ。２０１４年介護のため早期退職し、現在に至る

• 著者について

  小林 吹代 (コバヤシ フキヨ)
  1954年、福井県生まれ。1979年、名古屋大学大学院理学研究科博士課程（前期課程）修了。2014年、介護のため早期退職し、現在に至る。著書に、『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』（ベレ出版）『ガロア理論「超」入門～方程式と図形の関係から考える～』『マルコフ方程式～方程式から読み解く美しい数学～』『ガロアの数学「体」入門～魔円陣とオイラー方陣を例に～』『正多面体は本当に5種類か～やわらかい幾何はすべてここからはじまる～』『オイラーから始まる素数の不思議な見つけ方～分割数や３角数・４角数などから考える～』『ゼータへの最初の一歩 ベルヌーイ数～「べき乗和」と素数で割った「余り」の驚くべき関係～』（以上、技術評論社）『分数からはじめる素数と暗号理論～RSA暗号への誘い～』（現代数学社）などがある。【URL】http://fukiyo.g1.xrea.com「12さんすう34数学5 Go!」

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