キーポイント 多変数の微分積分(理工系数学のキーポイント 新装版) [全集叢書]

キーポイント 多変数の微分積分(理工系数学のキーポイント 新装版) の 商品概要

• 目次

  　編集にあたって
  　まえがき
  
  ポイント１　多変数関数とはどんなものか
  　関数，函数
  　多変数関数の登場
  　2変数関数の絵を描こう
  　等高線と俯瞰図の例
  　峠の関数
  　3変数関数
  　等関数面
  　4変数関数
  　n変数関数
  　熱力学関数
  　ベクトル値関数
  
  ポイント２　多変数関数の微分は偏微分
  　多変数の傾きとは？
  　偏微分の定義
  　偏微分の書き表し方
  　偏導関数
  　偏微分を計算しよう
  　合成関数も偏微分しよう
  　偏微分の現れる例
  　高次の偏微分
  　偏微分の順序について
  　偏微分順序が交換できない例
  　C1，C∞級は恐くない
  　偏微分の合成則
  　極座標での偏微分
  
  ポイント３　全微分は関数の微小変化分
  　関数の局所的性質
  　関数の変化分
  　多変数関数の変化分
  　関数の変化分の一般式を求めよう
  　全微分可能と偏微分可能
  　全微分，登場
  　2変数関数の方向微分係数
  　偏導関数から作ったベクトル：gradient
  　最大傾斜角
  　接平面
  　接平面であることのチェック
  　接するとは数学的にどう表現されるか
  　接平面の例
  　法線ベクトル
  
  ポイント４　多変数テイラー展開を駆使する
  　テイラー展開とは
  　関数の近似
  　x0のまわりでのテイラー展開
  　多変数関数のテイラー展開
  　テイラー展開と全微分の関係
  　多変数関数の極大・極小・鞍点
  　テイラー展開を用いた関数の極値問題
  　ヘッシアンによる関数の極大・極小の判別
  　等高線を描いてみよう：主軸変換
  　もっと多変数の場合の極値
  
  ポイント５　忘れてならないヤコビアン
  　多変数積分とヤコビアン
  　1変数関数の定積分は面積である
  　2重積分は体積となる
  　積分可能性
  　2重積分を計算しよう
  　積分順序の交換は可能か？
  　積分変数の交換
  　ヤコビアンの出現
  　忘れてならないヤコビアン
  　ヤコビアンの導出
  　ヤコビアンを用いた例
  　極座標変換
  　極座標変換を使うと計算が極端に楽である
  　n変数ヤコビの行列
  　多変数積分の変数変換公式
  　3次元極座標への交換公式
  　広義の多重積分
  
  ポイント６　積分経路に依存する線積分
  　線積分とは
  　線積分の定義
  　線積分の基本的な性質
  　線積分は積分経路によって値が変わる
  　パラメータ積分に換える
  　線積分を実行する
  　積分経路に依存する積分値
  　曲線の長さを求めよう
  　ベクトルの線積分
  　ベクトルの線積分のもう1つの表し方
  　力の仕事と線積分
  　保存力の場合，線積分はポテンシャルで書ける
  　線積分の不定積分？
  　ポテンシャルの例
  　エネルギー保存則
  　一般のベクトル場とポテンシャル
  　ベクトル場からスカラーポテンシャルを作れるか？
  
  ポイント７　面積分をマスターしよう
  　面積分とは
  　面積分を一言でいうと
  　面積分の定式化
  　xとyの通常の2重積分に変更する
  　ベクトルの外積
  　面積分を計算してみよう
  　面積分を用いて，曲面の面積を求める
  　一般的なパラメータ積分に換える
  　ベクトルの面積分
  　ベクトルの面積分を2重積分の形にする
  　ベクトルの面積分の別の表し方
  
  ポイント８　究極の定理，ストークスの定理
  　究極の定理とは
  　ガウスの定理
  　発散の別の表し方
  　divの意味
  　div(発散)のある場合とない場合の例
  　ガウスの定理の意味するところ
  　積分による証明
  　ガウスの定理の実際
  　ストークスの定理
  　rotAとベクトルの外積の関係
  　rotの意味するところ
  　ストークスの定理の幾何学的解釈
  　流れの回転の具体例
  　ストークスの定理の数学的証明
  　ストークスの定理の実際
  　グリーンの定理
  
  ポイント９　ラグランジュの未定乗数法
  　条件つきの極値問題
  　ラグランジュの未定乗数法
  　なぜラグランジュの未定乗数法を使うのか
  　逆関数
  　2変数の場合の逆関数
  　陰関数
  　陰関数定理を作る
  　多変数の陰関数定理
  　条件つきの極大・極小
  　ラグランジュの未定乗数法
  　付帯条件が2つある場合のラグランジュの未定乗数法
  　微分法の再高度の技法
  
  　あとがき
  　さくいん

• 出版社からのコメント

  入学後即座に道具として必須となる多変数の微積分。変数を増やしながらイメージを膨らませ、使う立場から勘所・急所を押えて解説

• 内容紹介

  1変数関数の積分が「面積」を意味するなら、2変数関数の積分は何を意味するだろうか。また、2変数関数のテイラー展開はどう表わされるだろうか。3変数ならばどうか。多変数の導入は数学の概念をより豊かにし、多様体など現代数学への一歩となる。多変数関数ならではの勘所・急所を押さえて、数学の実力をぐんとアップさせよう。

• 著者について

  小形 正男 (オガタ マサオ)
  小形正男(おがた・まさお)
  1960年生れ
  1982年東京大学理学部物理学科卒．
  現在 東京大学名誉教授．
     理学博士．
  専攻 個体物性理論．

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