和算からベルヌーイ数へと続く数の世界 ～ベル数・スターリング数でも和算家はスゴかった～（技術評論社） [電子書籍]

和算からベルヌーイ数へと続く数の世界 ～ベル数・スターリング数でも和算家はスゴかった～（技術評論社） の 商品概要

• 関孝和がベルヌーイ数を発見していたことは特に有名ですが，和算家が大きく貢献した有名な数が他にもあります。関孝和の孫弟子にあたる松永良弼（よしすけ）によるベル数や，坂正永（まさのぶ）によるスターリング数などです。和算家たちはこれらの数を「場合の数」と捉えます。一方，スターリングなど西洋の数学者たちは「代数」と捉えていました。スターリング数は，ベルヌーイ数に関する重要なクラウゼン-フォンシュタウトの定理に欠かせない重要な数でもあります。和算と西洋数学によるそれらの数の捉え方の違いを通して，それらがどのようにしてベルヌーイ数へとつながっていくのか，わかりやすく解説します。題材として「源氏香図」を使います。これは単なるデザインではなく，数学的な意味をもつもので，源氏香52通りはベル数とも呼ばれています。
  楽しみながら数学を学ぶことができる1冊です。
  

• 目次

  1章 源氏香のミステリー
  日本発の研究とは…
  「源氏香図」52個に『源氏物語』54帖が…
  「源氏香」から和算家達が発見した式とは…
  「二項係数」を並べて「パスカルの三角形」を作ろう
  「源氏香図」52個を描き上げよう
  源氏香図のミステリー（1）
  コラム①10種香は何通りか（1）
  
  2章 和算家のスターリング数
  和算家達のさらなる発見とは…
  漸化式から「第2種スターリング数の三角形」を作ろう
  「n＝4の香図」を描き上げよう
  源氏香図のミステリー（2）
  漸化式から「第1種スターリング数の三角形」を作ろう
  「置換」を「プレゼント交換」で見てみよう
  「置換」を「サイクルの個数」で見てみよう
  nを増やして「置換」のサイクルを見ていこう
  コラム②10種香は何通りか（2）
  
  3章 スターリングのスターリング数
  「二項係数」の関係式を代数の側面から見てみよう
  二項係数の「一般項」を場合の数から求めよう
  「べき乗」を「下降階乗」で表そう
  「べき乗」を「上昇階乗」で表そう
  第2種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
  何を展開すると第２種スターリング数が現れるか
  第2種スターリング数の「一般項」はどうなるか
  場合の数の「包除原理」から一般項を求めよう
  「n!」を「二項係数」で表そう
  第1種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
  「第1種スターリング数の多項式」を因数分解しよう
  「上昇階乗」を「べき乗」で表そう
  「下降階乗」を「べき乗」で表そう
  「べき乗」→「下降（上昇）階乗」→「べき乗」
  コラム③攪乱順列とモンモール数
  
  4章 ベル数と無限級数
  無限和を，ベルヌーイ数を用いて表そう
  無限和を，ベル数を用いて表そう（1）
  ベル数の「母関数」を求めよう
  無限和を，ベル数を用いて表そう（2）
  e^xから始め，xをかけて微分していくと…
  xをかけ，それを微分した式とたし算すると…
  無限級数から第2種スターリング数の「一般項」を…
  第2種スターリング数の「母関数」を求めよう
  第1種スターリング数の「母関数」を求めよう
  コラム④ベルヌーイ数と「べき乗和の公式」
  
  5章 スターリングにとっては同一種
  「パスカルの三角形」をさかのぼろう（1）
  「マイナス行」を「二項係数」で表そう
  「マイナス行」に現れた「重複組合せ」とは…
  (1＋x)^－nの展開に着目しよう（1）
  「パスカルの三角形」をさかのぼろう（2）
  (1＋x)^－nの展開に着目しよう（2）
  「第2種スターリング数の三角形」をさかのぼろう
  「マイナス行」に現れた「第1種スターリング数」
  「逆数のべき乗」を表そう（1）
  「逆数のべき乗」を表そう（２
  「第1種スターリング数の三角形」をさかのぼろう
  「マイナス行」に現れた「第2種スターリング数」
  「逆数のべき乗」を用いて表そう
  コラム⑤スターリング数の性質
  
  6章 不思議な「クラウゼン−フォンシュタウトの定理」
  「上昇階乗」を用いる「積和の公式」とは…
  「べき乗和」を「スターリング数」で表そう
  「ベルヌーイ数」を「第2種スターリング数」で表そう
  「クラウゼン−フォンシュタウトの定理」を見ていこう
  「第2種スターリング数」を素数pで割った「余り」
  偶数番目のベルヌーイ数B2nの「分母」を見てみよう
  「整数－1/素数－1/素数－…－1/素数」の「整数」を求めよう
  「ベルヌーイ数」と「スターリング数」が絡んだ式
  

和算からベルヌーイ数へと続く数の世界 ～ベル数・スターリング数でも和算家はスゴかった～（技術評論社） の商品スペック