ハミルトン-ヤコビ方程式－粘性解の理論と応用 [単行本]

ハミルトン-ヤコビ方程式－粘性解の理論と応用 [単行本] の 商品概要

• 目次

  第1章　Hamilton-Jacobi 方程式に対する粘性解入門
  　1.1　序論
  　1.2　1階Hamilton-Jacobi 方程式に対する粘性消滅法
  　　　1.2.1　上から（下から）接触する関数による粘性解の定義
  　　　1.2.2　問題
  　　　1.2.3　広義の微分を用いた粘性解の定義
  　　　1.2.4　問題
  　1.3　粘性消滅法による粘性解の存在
  　1.4　粘性解の整合性と安定性
  　1.5　定常問題に対する比較原理と一意性の結果
  　　　1.5.1　問題
  　1.6　Cauchy問題に対する比較原理と一意性の結果
  　　　1.6.1　問題
  　1.7　古典的なBernstein法入門
  　　　1.7.1　問題
  　1.8　Perronの方法入門
  　　　1.8.1　定常問題に対するPerronの方法
  　　　1.8.2　問題
  　　　1.8.3　Cauchy問題に対するPerronの方法
  　1.9　Perronの方法を用いたCauchy問題のLipschitz評価
  　　　1.9.1　問題
  　1.10　Cauchy問題に対する有限速度伝播
  　1.11　定常問題に対する粘性消滅法の二重変数法による収束率
  　1.12　非線形随伴法を用いた定常問題における粘性消滅法での収束率
  　　　　1.12.1　一般の非凸型ハミルトニアン
  　　　　1.12.2　一様凸型ハミルトニアン
  　　　　1.12.3　問題
  　1.13　文献
  
  第2章　凸型ハミルトニアンをもつ1階Hamilton-Jacobi方程式
  　2.1　最適制御理論入門
  　2.2　動的計画原理
  　　　2.2.1　問題
  　2.3　値関数に対する定常Hamilton-Jacobi方程式
  　2.4　Legendre変換
  　　　2.4.1　問題
  　2.5　ラグランジアンの視点から見た最適制御公式
  　　　2.5.1　ラグランジアンの視点に基づく定常方程式の解の新しい表現公式
  　　　2.5.2　ラグランジアンの視点からのCauchy問題の解の表現公式
  　　　2.5.3　問題
  　　　2.5.4　Hopf-Laxの公式
  　　　2.5.5　1階波面伝播問題
  　　　2.5.6　問題
  　2.6　1階凸型Hamilton-Jacobi 方程式のさらなる隠された構造
  　　　2.6.1　1階凸型Hamilton-Jacobi方程式の粘性劣解の特徴付け
  　　　2.6.2　1階凸型Hamilton-Jacobi方程式の粘性解の特徴付け
  　　　2.6.3　問題
  　　　2.6.4　Hopf-Laxの公式再訪
  　2.7　最大劣解とその表現公式
  　　　2.7.1　最大劣解と距離問題
  　　　2.7.2　ラグランジアンを用いた表現公式
  　　　2.7.3　1階波面伝播問題に対する表現公式
  　　　2.7.4　一般化
  　　　2.7.5　問題
  　2.8　文献
  
  第3章　非凸型ハミルトニアンをもつ1階Hamilton-Jacobi方程式
  　3.1　二人零和微分ゲーム入門
  　　　3.1.1　設定
  　　　3.1.2　終端値問題に対する粘性解
  　　　3.1.3　ゲームの上側ハミルトニアンと下側ハミルトニアン
  　　　3.1.4　上限値，下限値の性質
  　　　3.1.5　定理3.4の証明
  　　　3.1.6　問題
  　3.2　Hamilton-Jacobi方程式の解の表現公式
  　　　3.2.1　終端値問題
  　　　3.2.2　初期値問題
  　3.3　Hopfの公式
  　3.4　差分近似
  　　　3.4.1　単調整合スキーム
  　　　3.4.2　いくつかの例
  　3.5　文献
  
  第4章　Hamilton-Jacobi方程式に対する周期的均質化理論
  　4.1　周期的均質化理論入門
  　　　4.1.1　序論
  　　　4.1.2　導出
  　4.2　定常Hamilton-Jacobi方程式のセル問題と周期的均質化
  　　　4.2.1　セル問題
  　　　4.2.2　問題
  　　　4.2.3　定常Hamilton-Jacobi方程式の周期的均質化
  　4.3　Cauchy問題の周期的均質化
  　　　4.3.1　発見的証明
  　　　4.3.2　Evansの摂動試験関数法を用いた厳密な証明
  　4.4　有効ハミルトニアンの初等的な性質
  　　　4.4.1　Hの簡単な定性的性質
  　　　4.4.2　長時間平均とH
  　　　4.4.3　問題
  　4.5　凸型の設定の下での有効ハミルトニアンのさらなる性質
  　　　4.5.1　inf-sup公式
  　　　4.5.2　長時間平均公式
  　　　4.5.3　1次元の例
  　　　4.5.4　問題
  　　　4.5.5　凸型の設定の下でのHの定性的性質
  　　　4.5.6　Hの平坦部分
  　4.6　非凸型の設定の下での有効ハミルトニアンの表現公式
  　　　4.6.1　最も簡単な場合
  　　　4.6.2　より一般の場合
  　　　4.6.3　一般の場合
  　　　4.6.4　仮似凸変形による効果
  　　　4.6.5　問題
  　　　4.6.6　偶関数性の消滅と分解不能な有効ハミルトニアン
  　4.7　収束率
  　　　4.7.1　Capuzzo-Dolcetta and Ishiiの方法
  　　　4.7.2　ひとつの改良
  　　　4.7.3　問題
  　4.8　セル問題の解の非一意性
  　　　4.8.1　問題
  　4.9　文献
  
  第5章　Hamilton-Jacobi方程式に対する概周期的均質化理論
  　5.1　概周期的均質化理論入門
  　　　5.1.1　序論
  　　　5.1.2　導出
  　5.2　ディスカウント消滅問題と有効ハミルトニアンの確定
  　5.3　劣線形コレクターの非存在
  　5.4　Cauchy問題に対する均質化
  　5.5　有効ハミルトニアンの性質
  　　　5.5.1　Hの基本的性質
  　　　5.5.2　凸型の設定の下でのHの表現公式
  　　　5.5.3　問題
  　5.6　文献
  
  第6章　トーラス上における1階凸型Hamilton-Jacobi方程式
  　6.1　ディスカウント消滅問題の解の新しい表現公式
  　　　6.1.1　コンパクトな制御パラメータ集合をもつ最適制御問題への簡略化
  　　　6.1.2　新しい表現公式
  　6.2　有効ハミルトニアンに対する新しい表現公式とその応用
  　　　6.2.1　H(0)に対する新しい表現公式
  　　　6.2.2　応用
  　　　6.2.3　問題
  　6.3　セル問題，逆向き特性曲線とその応用
  　　　6.3.1　逆向き特性曲線
  　　　6.3.2　問題
  　　　6.3.3　逆向き特性曲線の長時間平均
  　6.4　周期的均質化理論における収束率の最良評価
  　　　6.4.1　一般の場合
  　　　6.4.2　1次元の場合
  　　　6.4.3　2次元での設定
  　　　6.4.4　問題
  　6.5　Lipschitz連続な粘性劣解の同値な特徴付け
  　　　6.5.1　Lipschitz連続な劣解の特徴付け
  　　　6.5.2　問題
  　6.6　文献
  
  第7章　弱KAM理論入門
  　7.1　序論
  　7.2　弱KAM理論におけるラグランジアンによる方法
  　　　7.2.1　弱KAM定理
  　　　7.2.2　流れ不変性とH(0)の別の特徴付け
  　7.3　Mather測度とMather集合
  　　　7.3.1　Lipschitzグラフ定理
  　　　7.3.2　緩和問題
  　7.4　弱KAM理論における非線形偏微分方程式による方法
  　　　7.4.1　粘性消滅近似
  　　　7.4.2　長時間平均近似とその応用
  　7.5　射影Aubry集合
  　　　7.5.1　偏微分方程式からの視点
  　　　7.5.2　(7.23)の解の表現公式
  　　　7.5.3　ラグランジアンからの視点
  　7.6　文献
  
  第8章　凸型の設定の下での有効ハミルトニアンのさらなる性質
  　8.1　ある方向に関しての有効ハミルトニアンの狭義凸性
  　8.2　無限遠における漸近展開
  　　　8.2.1　無限遠点における漸近展開の方法
  　　　8.2.2　厳密な展開
  　8.3　古典的なHedlundの例
  　8.4　古典的なHedlundの例のある一般化
  　8.5　文献
  
  付録A　表記法
  　A.1　集合と空間の記号
  　A.2　関数の記号
  　A.3　関数空間に関する記号
  　A.4　評価に関する記号
  
  付録B　Sionのミニマックス定理
  
  付録C　Legendre変換の特徴付け
  　C.1　準備
  　C.2　アフィン関数とデルタ型関数
  
  付録D　作用汎関数に対する最小化経路の存在と正則性
  　D.1　最小化経路の存在
  　D.2　最小化経路の正則性
  
  付録E　境界値問題
  　E.1　状態拘束問題
  　E.2　Dirichlet問題
  　E.3　Neumann問題
  
  付録F　supたたみ込み
  
  付録G　定理6.26の証明の概略
  
  参考文献
  
  訳者あとがき
  
  索引

• 出版社からのコメント

  1階ハミルトン-ヤコビ方程式に関する粘性解の基礎的理論を中心に均質化理論なども解説した入門書。弱KAM理論なども取り扱う。

• 内容紹介

  本書は，1階Hamilton‒Jacobi方程式の理論に関する多くの重要な話題を広範に取り扱い，特に現代的なアプローチや視点に重点をおいた入門書である．まず，1階Hamilton‒Jacobi方程式に関する粘性解の基礎的理論を解説し，その適切性を取り扱う．続いて，1980年代からとても活発な研究対象であるにもかかわらず，これまで標準的な教科書には述べられていなかった均質化理論について詳しく論じる．
  
  その後，解の力学的性質であるAubry‒Mather理論と弱Kolmogorov‒Arnold‒Moser(KAM)理論を取り扱う．これらの理論を述べるにあたっては力学的アプローチと偏微分方程式的アプローチの両方を紹介する．また均質化理論と力学的解釈との関係や最適収束率についても論じる．

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